Научно-популярные лекции и фестивали помогают заинтересовать школьников математикой и естественными науками. Участники узнают о новейших достижениях и интересных фактах из мира науки, могут показать свои знания и лучше понять материал.

Фестивали — это формат, включающий игры, мастер-классы и необычные задачи по математике, которые нравятся ученикам. Такое взаимодействие мотивирует ребят продолжать изучать математику.

В небольшом докладе пойдет речь о «справедливых» аукционах. То есть совместимых по стимулам (честные ставки — самые выгодные) и равновесных по Нэшу (никому из участников в одиночку не выгодно отклоняться от своей стратегии). Аукцион второй цены, предложенный в 60-е годы Викри (Нобелевская премия в 90-е), является как раз примером такого аукциона (в отличие от всем известного аукциона первой цены). Идея очень простая — все делают ставки, и товар отдается тому, кто сделал наибольшую ставку, но отдается не по той цене, что он сам готов заплатить, а по цене, которая вторая в «стакане», то есть следующая по величине.

Литература:
Литвак Н., Райгородский А. Кому нужна математика? М.: МЦНМО, 2024.
Савватеев А., Филатов А. Занимательная экономика. Теория экономических механизмов от, А до Я. Изд-во «АСТ», 2022.

В лекции говорится о роли группового отбора на примере парадокса Симпсона. Суть парадокса в том, что если общество состоит из нескольких групп, в каждой группе есть некоторое количество альтруистов и эгоистов, то со временем процент альтруистов может вырасти, что вроде как противоречит тому, что в каждой отдельной группе количество альтруистов уменьшается (внутригрупповую борьбу выигрывают эгоисты). Как такое может быть? Ответ довольно прост: те группы, в которых альтруистов больше, более успешны и увеличивают в процентом отношении свое присутствие в обществе. При должном подборе чисел можно получить описанные парадоксы. Парадокс несет большой философский смысл и представляется весьма полезным не только как упражнение по элементарной математике.

Литература:
Марков А. В. Эволюция человека II. Обезьяны, нейроны и душа. Изд-во «АСТ», 2011.

Классическим примером матричной игры является дилемма заключенного. Особенностью конкретной этой игры является ситуация, в которой равновесие по Нэшу (ни одному из двух игроков не выгодно отклоняться от используемой стратегии "не кооперировать") не эффективно (оптимально) по Парето. То есть можно указать каждому из игроков как действовать (в данном случае использовать стратегию "кооперировать") и выигрыш у каждого станет больше. Но на практике реализуется именно равновесие Нэша. Этот простой пример объясняет природу многих конфликтов. В этой небольшой лекции обсуждается как можно было бы все же вернуть ситуацию в социальный оптимум (использованию обоими игроками стратегии "кооперировать"). Для этого рассматривается повторяющийся вариант игры "Дилемма заключенного", с некоторой вероятностью продолжения игры после каждого нового розыгрыша. В таком случае быть "эгоистом" может быть невыгодно, если против тебя, например, играют стратегию "вечной кары" (эта стратегия выглядит очень просто: кооперироваться до тех пор пока оппонент не выбрал стратегию "не кооперироваться", после этого во всех оставшихся розыгрышах используется стратегия также "не кооперироваться" независимо от того, что делает оппонент). Собственно, исследуется вопрос о том, когда стратегия "вечной кары" будет равновесием по Нэшу у обоих игроков (эта стратегия приводит к кооперации). Обсуждаются в связи с вышесказанным вопросы репутации и почему в малых городах, как правило, практически нет правонарушений...

Литература
Пейдж С. Модельное мышление. Изд-во "МИФ", 2020.

Рассмотрим задачу определить период колебания математического маятника T (в секундах) с длинной L (метров) и массой m (кг). Маятник находится в поле силы тяжести, характеризуемой ускорением свободного падения g (метры/секунды^2). Оказывается, совсем не сложно понять, что T ~ \sqrt{L/g}. Получается это из соображений размерности. Никак по-другому из L, m, g не получится сконфигурировать физическую величину, имеющую физическую размерность секунды. Таким образом, с точностью до числового множителя можно получить правильную формулу. На самом деле, используемые выше соображения хороши известны как физикам, так и математикам. В лекции мы поговорим об общей схеме, которая называется Пи-теорема теории размерностей. Посмотрим, как с помощью такой теоремы можно решить задачу о перекрытии реки камнями и определить шаг в методе градиентного спуска (возникает, например, при обучении нейронных сетей). Также рассмотрим несколько ярких примеров применения соображений подобия и размерностей, чтобы ответить на вопросы: кто выше прыгает, быстрее плавает и бегает и т.п.

Литература
Зорич В.А. Математический анализ задач естествознания. М. МЦНМО, 2008, стр. 16.
Богданов К.Ю. Прогулки с физикойй. М.: Б-ка Квант, вып. 98. 2006

Что такое цепные дроби? В этой небольшой лекции будет рассмотрен конкретный пример цепной дроби (с основаниями 1), приводящей к золотому сечению. А именно, сначала будет выписано рекурентное уравнение, связывающее подходящие дроби, получающиеся если оборвать цепную дробь на шаге n и n+1. Затем, выписанное рекурентное соотношение: x_{n+1} = 1 / (1 + x_n) исследуется с точки зрения предела. Предполагая, что предел существует (на лекции поясняется что это значит) и равняется числу a > 0 выписывается уравнение, которому должно удовлетворять число a: a = 1 / (1 + a). Это уравнение, в свою очередь, сводится к квадратному уравнению, которое впоследствие успешно решается и получается золотое сечение.

Литература:
Хинчин А.Я. Цепные дроби. ГИФМЛ, 1960.

Многие факты школьных курсов географии и физики (термодинамики) можно рассказывать просто на прогулке. В нашем случае, на прогулке в горах. Начнем с географии. Во время такой прогулки можно показать и объяснить: откуда текут реки; почему реки типично сливаются, но не раздваиваются; как зарастают озера; почему типично, что из озера выпадает всего одна река, в то время как впадает много; почему в горах ночью холодно, а у моря нет. Аналогично по физике можно объяснить причину возникновения росы по утрам; ветра фен; облаков; созревания ягод на разных высотах; обсудить вопросы приготовления пищи на высоте и т.д. Собственно, прогуливаясь по 13 маршруту на гору Ачишхо в Красной поляне мы постараемся на школьном уровне ответить на эти вопросы.

Литература:
Аржанов С. Занимательная география. Аванта, 2021.
Нагасава М. Физика вокруг нас. ДМК, 2020.

На уроке мы поговорим о матрицах, матричных разложениях, немного об оптимизации. Объединяющим элементом всех этих сюжетов будет задача о том, как рекомендовать новые фильмы зрителям, например, в онлайн-кинотеатре «Кинопоиск» или «Okko» на основе того, что они уже посмотрели и оценили.

В современных школах курс теории вероятностей читается с 7 класса. И уже в 7 классе можно столкнуться с достаточно странными парадоксами… Например, возьмем три одинаковых картонки. На первой с обеих сторон нарисуем букву А, на второй букву Б, а на третьей картонке с одной стороны нарисуем А, с другой Б. Положим картонки в мешок. Затем одну выложим наугад и положим на стол. Предположим, что на видимой стороне картонки изображена буква А. Какова вероятность того, что на другой стороне тоже А? Казалось бы ответ ½. Но на самом деле, 2/3. В рамках урока мы познакомимся еще с несколькими парадоксами, которые позволяет лучше прочувствовать, важность четкого понимания (формализации) условий задачи.

Литература:
Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир, 2003.

На уроке пойдёт речь об очень важной составляющей современного обучения глубоких нейронных сетей — методе обратного распространения ошибки. А именно, будет показано, как при весьма естественных предположениях о нейросети можно вычислять градиент (производные) целевой функции. В нашем случае — суммы квадратных невязок выходов сети и того, что она должна выдавать на заданных входах практически за то же время, что и вычисление самой функции. Вычисление градиента является ключевым местом в организации процедуры обучения посредством стохастического градиентного спуска.

На уроке мы обсудим возможность в огромной таблице с большим числом повторяющихся записей посчитать количество разных записей. Например, посчитать клиентов банка. Каждая транзакция (запись в таблице) связана с конкретным клиентом, однако у одного клиента может быть много транзакций… Об эффективных методах решения такой задачи мы и поговорим.

Литература: Литвак Н., Райгородский А. Кому нужна математика? М.: МЦНМО, 2024.

Нахождение формулы для Пифагоровых треугольников» представляет собой увлекательное погружение в мир математики. На лекции рассматриваются Пифагоровы тройки — тройки натуральных чисел, которые могут быть сторонами прямоугольного треугольника.
Слушатели узнают о различных методах нахождения формул для Пифагоровых троек, а также о том, как эти формулы могут быть использованы в различных областях науки и техники.
Лекция будет полезна не только математикам, но и всем, кто интересуется наукой и хочет расширить свой кругозор. Она поможет лучше понять, как математика применяется в реальной жизни, и вдохновит на дальнейшее изучение этой увлекательной науки.

Слушатели узнают, что такое таблица умножения остатков и в каком случае в ней встречаются нули; про Малую теорему Ферма, основную теорему арифметики и линейные диофантовы уравнения. Лекция будет полезна всем любителям математики, особенно тем, кто собирается ее изучать всерьез.

Лекция представляет собой вдохновляющее погружение в мир профессий, связанных с искусственным интеллектом (ИИ), а также обсуждает, как эти технологии могут изменить наше будущее.
На лекции рассматриваются различные профессии, связанные с разработкой, обучением и применением ИИ. Слушатели узнают о том, какие навыки и знания необходимы для работы в этой области, а также о том, какие перспективы открываются перед специалистами в этой сфере.
Особое внимание уделяется роли ИИ в различных областях, таких как медицина, образование, финансы и другие. Слушатели узнают о том, как ИИ может помочь в решении сложных задач, а также о том, какие возможности открываются перед обществом благодаря развитию этих технологий.

На лекции слушатели узнают, что такое искусственный интеллект, кто такие роботы и как искусственный интеллект помогает роботам решать сложные задачи. Лекция не требует специальных знаний и будет понятна школьникам как старших, так и средних классов.

Каждый день мы сталкиваемся с «обычными» явлениями природы, и порой не обращаем на них внимание. Мы не задумываемся почему ложка в стакане с водой кажется нам сломанной, небо голубое, облака белые, а закат красный. На лекции мы не только более подробно познакомимся с этими и другими оптическими явлениями, но увидим какое практическое применение они нашли в науке, технике и медицине. Мы измерим остроту вашего зрения и разберемся как работают датчики дождя у автомобиля, поговорим о том, как астрономы обнаружили планеты у далёких звёзд, и как они измерили расстояние до них. Мы с вами заглянем за страницы школьного учебника и увидим удивительную красоту оптических явлений.

Каждый день мы сталкиваемся с «обычными» явлениями природы, и порой не обращаем на них внимание. Мы не задумываемся почему ложка в стакане с водой кажется нам сломанной, небо голубое, облака белые, а закат красный. На лекции мы не только более подробно познакомимся с этими и другими оптическими явлениями, но увидим какое практическое применение они нашли в науке, технике и медицине. Мы измерим остроту вашего зрения и разберемся как работают датчики дождя у автомобиля, поговорим о том, как астрономы обнаружили планеты у далёких звёзд, и как они измерили расстояние до них. Мы с вами заглянем за страницы школьного учебника и увидим удивительную красоту оптических явлений.

Под элементарной операцией будем будем понимать сложение или умножение двух цифр от 0 до 9. Сколько таких операций будет нужно сделать, чтобы сложить два n-разрядных чисел? Ответ: приблизительно n. А сколько потребуется таких операций, чтобы посчитать произведение двух n-разрядных числа? Стандартное умножение «в столбик» дает приблизительно n². Можно ли более эффективно осуществлять умножение? В лекции будет рассмотрен алгоритм Карацубы, предложенный в 1961 году, который породил целое направление исследований, финальной точкой в которых, по-видимому, будут алгоритмы работающие за n * log n элементарных операций. Также в лекции будет показано, что если есть алгоритм вычисляющий произведение двух чисел a*b за T элементарных операций, то можно построить алгоритм (и описано как именно это сделать), который вычисляет a/b за 5T элементарных операций. Примечательно, что оба алгоритма (Карацубы и алгоритм деления) достаточно просты и вполне доступны даже семиклассникам.

Литература:
Математическая составляющая. Под ред. Н.Н. Андреева. etudes.ru

Рассмотрим произвольное множество точек на плоскости. Назовем его диаметром максимальное расстояние между точками в нем. На сколько частей строго меньшего диаметра можно разрезать произвольное ограниченное множество? Мы разберемся с этим вопросом и обсудим, какая удивительная наука с кучей открытых проблем из него вырастает.

Красим все точки плоскости в несколько цветов с условием, что концы любого отрезка длины 1 имеют разные цвета. Каково наименьшее количество цветов при таком условии? Оказывается, оно находится в пределах от 5 до 7. В лекции рассказано об удивительной истории этой задачи.

На лекции рассказывается о движениях плоскости (параллельных переносах, поворотах и отражениях) и их композициях, рассмотрены различные варианты композиций движений. Доказана теорема Шаля о композициях движений плоскости, и с ее помощью доказана знаменитая теорема (не менее знаменитого) Наполеона.

Частота звучания струны, октавы, обертоны, тональности, квинты, гармоники и даже красота звучания аккордов — всё это имеет точное объяснение на языке науки, и в лекции «От музыкальной квинты к тройкам ABC» А. Савватеев рассказывает об этом простым языком, понятным даже школьнику.

Парадокс раздела ставки. Игра в теннис с родителями. Парадокс Бертрана (бросание случайной хорды на окружности). Задача о встрече. Парадокс дней рождений. Оценка длины отрезка по выборке из равномерного распределения. Решение функциональных уравнений вида $x (n+1) — x (n) = n$.

Литература
Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. Москва-Ижевск, РХД, 2003.

В лекции рассказано о двух базовых принципах оптимизации: принципе Ферма и принципе Лагаранжа. Принцип Ферма состоит в том, что если минимум функции достигается внутри области, в которой решается задача и функция гладкая, то производная (градиент) должна равняться нулю в точке минимума. Принцип Лагранжа состоит в том, что для задачи с ограничениями, принцип Ферма применяется к функции Лагаранжа, минимум которой совпадает с минимумом исходной функции. Функция Лагранжа получается добавлением к исходной функции ограничений, умноженных на множители Лагранжа. Для поиска множителей Лагранжа предлагается использовать условия дополняющей нежесткости. Оба принципа неформально выводятся. Принцип Ферма демонстрируется примером отражения света от зеркальной поверхности. Также рассматривается пример построения сети Штейнера для вершин квадрата, как пример более сложной задачи, которую не так просто подогнать под возможность применения перечисленных двух принципов.

Литература
Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. М.: МЦНМО, 2017.

В лекции рассказывается об экономических предполсылках известной фразы: «хотели как лучше, а получилось как всегда». А именно, будет рассмотрен конкретный естественный пример простой транспортной сети сначала с двумя альтернативными дорогами, соединяющими два пункта. Одна из дорог объездная широкая, длинная, вторая узкая, но короткая. Будет показано, что расширение узкой дороги может не приводить к тому, что водители станут быстрее добираться, более того, если построить еще и метро (и появляется третья альтернатива), соединяющее пункты, то может так сложиться, что расширение второй дороги даже ухудшит для всех ситуацию.
Также мы поговорим о том как подружить в классе всех мальчиков и девочек, чтобы никому не хотелось поменять друга.

Литература
Савватеев А., Филатов А. Занимательная экономика. АСТ, 2022.